Ó ÁÈÒÙË μï ÌÔ, ª ıëì ÙÈÎfi, Îapple È Â ÙÈÎfi π ȈÙÈÎ Îapple  ÛË Ó ÁÈÒÙË ÚÔ ÙÛ, ª ıëì ÙÈÎfi, ÂÒÚÁÈÔ Ú Û Ë, ª ıëì ÙÈÎfi,

Transcript

1 ª ıëì ÙÈÎ μ Àª π À

2 À ƒ º π ƒπδ - π Δ Ó ÁÈÒÙË μï ÌÔ, ª ıëì ÙÈÎfi, Îapple È Â ÙÈÎfi π ȈÙÈÎ Îapple  ÛË Ó ÁÈÒÙË ÚÔ ÙÛ, ª ıëì ÙÈÎfi, Îapple È Â ÙÈÎfi π ȈÙÈÎ Îapple  ÛË ÂÒÚÁÈÔ Ú Û Ë, ª ıëì ÙÈÎfi, Îapple È Â ÙÈÎfi π ȈÙÈÎ Îapple  ÛË ˆÓÛÙ ÓÙ ÓÔ ƒâîô ÌË, ª ıëì ÙÈÎfi, Îapple È Â ÙÈÎfi π ȈÙÈÎ Îapple  ÛË μ Û ÏÂÈÔ È Ï Ì, Ó appleïëúˆù ıëáëù.... Ã Ú Ï ÌappleÔ ΔÔ Ì ÛË, ÔÏÈÎfi Ì Ô ÏÔ ª ıëì ÙÈÎÒÓ ÔÏ Í ÓË ƒ Ô, ª ıëì ÙÈÎfi, Îapple È Â ÙÈÎfi μ/ıìè Îapple  ÛË π ƒ º ÂÔ fiûë μú Ó, ÎÈÙÛÔÁÚ ÊÔ - ÈÎÔÓÔÁÚ ÊÔ ºπ π πª π À À À Δ À ª ª Δ π Δ À À ƒ À Δ Δ À ƒ º øºà ÁÂÓ μâï ÁÎÔ, ºÈÏfiÏÔÁÔ, Îapple È Â ÙÈÎfi π ȈÙÈÎ Îapple  ÛË ÂÒÚÁÈÔ ÔÏ Ô, Ú ÚÔ Â.ı. ÙÔ È ÁˆÁÈÎÔ πóûùèùô ÙÔ ÂÒÚÁÈÔ ª ÏÈÔ, ˆÁÚ ÊÔ - Ã Ú ÎÙË ƒ ΔÀ øδπ ƒ π... / II / Ó ÚÁÂÈ... / ÙËÁÔÚ Ú ÍˆÓ... : «Ó ÌfiÚʈÛË ÙˆÓ appleúôáú ÌÌ ÙˆÓ ÛappleÔ ÒÓ Î È Û ÁÁÚ Ê Ó ˆÓ ÂÎapple È Â ÙÈÎÒÓ apple Î ÙˆÓ» π ø π π ΔπΔ ÀΔ ËÌ ÙÚÈÔ. μï Ô ÌfiÙÈÌÔ ıëáëù ÙÔ..., Úfi ÚÔ ÙÔ È ÁˆÁÈÎÔ πóûùèùô ÙÔ Ú ÍË Ì ٠ÙÏÔ: «ÁÁÚ Ê Ó ˆÓ È Ï ˆÓ Î È apple Ú ÁˆÁ appleôûùëúèîùèîô ÂÎapple È Â ÙÈÎÔ ÏÈÎÔ Ì ÛË ÙÔ Î È Ù ÁÈ ÙÔ ÌÓ ÛÈÔ» appleèûùëìôóèîfi Àapple ı ÓÔ ŒÚÁÔ ÓÙÒÓÈÔ. ªappleÔÌapple ÙÛË Ì Ô ÏÔ ÙÔ È ÁˆÁÈÎÔ πóûùèùô ÙÔ Ó appleïëúˆù appleèûùëìôóèîô Àapple ı ÓÔÈ ŒÚÁÔ ÂÒÚÁÈÔ. ÏËfi Ì Ô ÏÔ ÙÔ È ÁˆÁÈÎÔ πóûùèùô ÙÔ πáó ÙÈÔ. à ٠Ë ÛÙÚ Ù Ô ªfiÓÈÌÔ Ú ÚÔ ÙÔ È ÁˆÁÈÎÔ πóûùèùô ÙÔ ŒÚÁÔ Û Á ÚËÌ ÙÔ ÔÙÔ ÌÂÓÔ 75% applefi ÙÔ Úˆapple Îfi ÔÈÓˆÓÈÎfi Δ ÌÂ Ô Î È 5% applefi ÂıÓÈÎÔ applefiúô.

3 À Àƒ π π π π π ƒ Àª Δø π ø π π ΔπΔ ÀΔ Ó ÁÈÒÙË μï ÌÔ Ó ÁÈÒÙË ÚÔ ÙÛ ÂÒÚÁÈÔ Ú Û Ë ˆÓÛÙ ÓÙ ÓÔ ƒâîô ÌË ª ıëì ÙÈÎ μ Àª π À ƒ π ª ø π Δπ ø μπμ πø

4

5 Πρόλογος Το βιβλίο «Μαθηματικά Β Γυμνασίου» περιλαμβάνει την ύλη που προβλέπεται από το πρόγραμμα σπουδών του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου. Αποτελείται από δύο μέρη τα οποία θα μελετηθούν παράλληλα και αρκετές φορές συμπληρωματικά. Στο πρώτο μέρος, η Άλγεβρα ξεκινά με εξισώσεις και ανισώσεις α βαθμού, ενώ στο δεύτερο μέρος η Γεωμετρία ξεκινά με τα εμβαδά επίπεδων σχημάτων τα οποία οδηγούν στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Στη Γεωμετρία το Πυθαγόρειο θεώρημα θα μελετηθεί μόνο για ρητούς αριθμούς και κατόπιν θα αποτελέσει τη βάση για την εισαγωγή των άρρητων αριθμών στο δεύτερο κεφάλαιο της Άλγεβρας. Γνωρίζοντας τους πραγματικούς αριθμούς μπορούμε να μελετήσουμε την Τριγωνομετρία, η ο- ποία καταλαμβάνει τις περισσότερες παραγράφους του δεύτερου κεφαλαίου του δευτέρου μέρους, το οποίο ολοκληρώνεται με τα διανύσματα. Στη συνέχεια η πορεία των δύο μερών του βιβλίου γίνεται σχεδόν ανεξάρτητη. Το πρώτο μέρος ολοκληρώνεται με την παρουσίαση βασικών συναρτήσεων και την περιγραφική Στατιστική, ενώ το δεύτερο με τη μέτρηση κύκλου και τη μελέτη και μέτρηση γεωμετρικών στερεών. Οι συγγραφείς

6

7 Περιεχόμενα ª ƒ º π Ô - π ø π - π ø π. - ÓÓÔÈ ÙË ÌÂÙ ÏËÙ - ÏÁ ÚÈÎ apple Ú ÛÙ ÛÂÈ ÍÈÛÒÛÂÈ ıìô apple Ï ÛË Ù appleˆó apple Ï ÛË appleúô ÏËÌ ÙˆÓ Ì ÙË Ú ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ÓÈÛÒÛÂÈ ıìô º π Ô - ƒ ª Δπ π ƒπ ª π. - ΔÂÙÚ ÁˆÓÈÎ Ú ıâùèîô ÚÈıÌÔ ÕÚÚËÙÔÈ ÚÈıÌÔ - Ú ÁÌ ÙÈÎÔ ÚÈıÌÔ ÚÔ Ï Ì Ù º π Ô - À ƒδ π. - ÓÓÔÈ ÙË Û Ó ÚÙËÛË ÚÙÂÛÈ Ó Û ÓÙÂÙ ÁÌ Ó - Ú ÊÈÎ apple Ú ÛÙ ÛË Û Ó ÚÙËÛË Û Ó ÚÙËÛË y= x Û Ó ÚÙËÛË y= x Û Ó ÚÙËÛË y= /x - appleâú ÔÏ º π Ô - ƒπ ƒ ºπ Δ Δπ Δπ. - μ ÛÈÎ ÓÓÔÈ ÙË Ù ÙÈÛÙÈÎ : ÏËı ÛÌfi -  ÁÌ Ú ÊÈÎ Ú ÛÙ ÛÂÈ Ù ÓÔÌ Û ÓÔÙ ÙˆÓ Î È Û ÂÙÈÎÒÓ Û ÓÔÙ ÙˆÓ Ì ÔappleÔ ËÛË apple Ú ÙËÚ ÛÂˆÓ ª ÛË ÙÈÌ - È ÌÂÛÔ ª ƒ μ º π Ô - ªμ π ø à ª Δø - À ƒ π øƒ ª. - Ì fió Âapple appleâ Ë ÂappleÈÊ ÓÂÈ ªÔÓ Â Ì ÙÚËÛË ÂappleÈÊ ÓÂÈÒÓ Ì Âapple appleâ ˆÓ Û ËÌ ÙˆÓ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì

8 Περιεχόμενα º π Ô - Δƒπ ø ª Δƒπ - π À ª Δ. - Ê appleùôì ÓË ÔÍ ÁˆÓ Ì ÙÔÓÔ Î È Û ÓËÌ ÙÔÓÔ ÔÍ ÁˆÓ ªÂÙ ÔÏ ËÌÈÙfiÓÔ, Û ÓËÌÈÙfiÓÔ Î È ÂÊ appleùôì ÓË È ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ ÚÈıÌÔ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ 0Æ, 5Æ Î È 60Æ ÓÓÔÈ ÙÔ È Ó ÛÌ ÙÔ ÕıÚÔÈÛÌ Î È È ÊÔÚ È Ó ÛÌ ÙˆÓ Ó Ï ÛË È Ó ÛÌ ÙÔ ÛÂ Ô Î ıâùâ Û ÓÈÛÙÒÛ º π Ô - ª Δƒ À À. - ÁÁÂÁÚ ÌÌ Ó ÁˆÓ  ÓÔÓÈÎ appleôï ÁˆÓ ª ÎÔ Î ÎÏÔ ª ÎÔ ÙfiÍÔ Ì fió Î ÎÏÈÎÔ ÛÎÔ Ì fió Î ÎÏÈÎÔ ÙÔÌ º π Ô - øª Δƒπ Δ ƒ - ª Δƒ Δ ƒ ø. - ıâ Â Î È Âapple appleâ ÛÙÔ ÒÚÔ ÙÔÈ Â Î È ÂÌ fió appleú ÛÌ ÙÔ Î È Î Ï Ó ÚÔ ŸÁÎÔ appleú ÛÌ ÙÔ Î È Î Ï Ó ÚÔ apple Ú Ì Î È Ù ÛÙÔÈ Â ÙË ÎÒÓÔ Î È Ù ÛÙÔÈ Â ÙÔ ÛÊ Ú Î È Ù ÛÙÔÈ Â ÙË ÂˆÁÚ ÊÈÎ Û ÓÙÂÙ ÁÌ ÓÂ Δ π Δø ø Àƒ Δ ƒπ ƒø μπμ π ƒ ºπ π Δƒπ ø ª Δƒπ ø ƒπ ªø

9 ΜΕΡΟΣ Α º π Ô Εξισώσεις Ανισώσεις

10 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Á appleú ÁÌ Ù Â Ó È ÁÓˆÛÙ ÁÈ ÙË ˆ ÙÔ ÌÂÁ ÏÔ ÏÏËÓ Ì ıëì ÙÈÎÔ ÈfiÊ ÓÙÔ, appleô ËÛ ÛÙËÓ ÏÂÍ Ó ÚÂÈ ÙÔÓ Ô Ì.Ã. ÈÒÓ. È ÂÚÁ Û Â ÙÔ fiìˆ Â Ó ÙÂÚ ÛÙÈ ÛËÌ Û ÁÈ ÙË ıâìâï ˆÛË ÙË ÕÏÁÂ Ú Î È ÂÎÙÈÌ ıëî Ó appleôï ÙÔ ÂapplefiÌÂÓÔ ÈÒÓÂ. applefi Ù ÚÁ appleô ÁÚ Â ÛÒıËÎ Ó ÌfiÓÔ Ù 0 (Ù 6 Û ÂÏÏËÓÈÎ ÂÈÚfiÁÚ Ê Î È Ù ÛÂ Ú ÈÎ ÌÂÙ ÊÚ ÛË). ΔÔ appleèô È ÛËÌÔ applefi Ù ÚÁ ÙÔ Â Ó È Ù «ÚÈıÌËÙÈλ (6 È Ï ). ÚfiÎÂÈÙ È ÁÈ ÙÔ Ú ÈfiÙÂÚÔ ÂÏÏËÓÈÎfi ÚÁÔ ÛÙÔ ÔappleÔ Ô ÁÈ appleúòùë ÊÔÚ ÚËÛÈÌÔappleÔÈÂ Ù È ÌÂÙ ÏËÙ ÁÈ ÙËÓ Âapple Ï ÛË appleúô Ï Ì ÙÔ. ÚÔ ÙÈÌ Ó ÙÔ ÌÈ ÂÈ ÈÎ Î ÙËÁÔÚ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ÔÓÔÌ ÂÙ È «ÈÔÊ ÓÙÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ». ŸÙ Ó apple ı ÓÂ, ÔÈ Ì ıëù ÙÔ -Î Ù apple Ú ÁÁÂÏ Ó ÙÔ - ÓÙ ÏÏÔ ÂappleÈÁÚ ÌÌ ÙÔ, Û Ó ıâû Ó Ó ÁÚ ÊÔ Î È ÙÔÓ ÁÚ Ó apple Óˆ ÛÙÔÓ Ù ÊÔ ÙÔ. π Ô ÏÔÈapplefiÓ ÙÔ apple ÁÚ ÌÌ ÙÔ ÈfiÊ ÓÙÔ.. Η έννοια της μεταβλητής. Aλγεβρικές παραστάσεις. Εξισώσεις α βαθμού. Επίλυση τύπων. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων.5 Ανισώσεις α βαθμού «π μ Δ ÀΔ Δ Δ º À Δ π π º Δ. À π π º, π Δ ª ø π Δ ª Δƒ Δ ø Δ À. À Δ À Δƒ æ π π π Δ Δ Δ ø Δ À. ª ø Δ π ºÀΔƒø Δ ª Àƒ π Δ À. ª Δ μ ª ª ƒ Δ À ª À Δ À ª ƒ. Δ ª Δ Ãƒ ÀΔ À Δ À ª À E ENA π π. Δπ ƒπª π Δ ƒ Δ À π. º À ª Ã Δ ªπ à π Δ Δ ƒ Δ À øƒπ Δ ø π Δ À Δ À. Δ ƒ Ã π ƒ Δ ƒ π º Δ μƒ ƒ ƒπ Δ πæ Δ À ºΔ Δ Δ Δ Δ ø Δ À». ÌÊˆÓ Ì Ùfi ÙÔ Âapple ÁÚ ÌÌ, applefiû ÚfiÓÈ ËÛÂ Ô ÈfiÊ ÓÙÔ ; Ó x apple ÚÈÛÙ ÓÂÈ ÙËÓ ËÏÈÎ ÙÔ ÈfiÊ ÓÙÔ, fiù Ó apple ı ÓÂ, ÙfiÙ ÙÔ apple Ú apple Óˆ appleúfi ÏËÌ apple ÚÈÛÙ ÓÂÙ È applefi ÙËÓ x x x x ÂÍ ÛˆÛË: = x. 6 7 ÙÔ ÎÂÊ Ï ÈÔ Ùfi ı Ì ıô ÌÂ Ó Ï ÓÔ Ì ٠ÙÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂÈ (Î ıò Î È ÓÈÛÒÛÂÈ ). Ó ËÙ ÛÔ Ì Âapple ÛË ÙÚfiappleÔ Ó ÂÊ ÚÌfi Ô Ì ÙË Ì ıô Ô Ù, ÁÈ Ó Ï ÓÔ Ì appleúô Ï Ì Ù ÙË Î ıëìâúèó ˆ.

11 .. Η έννοια της μεταβλητής - Aλγεβρικές παραστάσεις Μεταβλητή Η ομιλία σε κινητό τηλέφωνο κοστίζει 0,005 το δευτερόλεπτο. Πόσο κοστίζει ένα τηλεφώνημα διάρκειας 0 δευτερολέπτων, ένα άλλο διάρκειας 5 δευτερολέπτων και ένα άλλο διάρκειας 7 δευτερολέπτων; Λύση Εύκολα βέβαια βρίσκουμε ότι: Ένα τηλεφώνημα διάρκειας 0 δευτερολέπτων κοστίζει 0 0,005 = 0,05. Ένα τηλεφώνημα διάρκειας 5 δευτερολέπτων κοστίζει 5 0,005 = 0,075. Ένα τηλεφώνημα διάρκειας 7 δευτερολέπτων κοστίζει 7 0,005 = 0,5. Μπορούμε λοιπόν να σκεφτούμε ότι το κόστος ενός τηλεφωνήματος θα είναι: (διάρκεια τηλεφωνήματος) 0,005. Για ευκολία, συμβολίζουμε με το γράμμα x τη διάρκεια του τηλεφωνήματος (σε δευτερόλεπτα), οπότε καταλήγουμε ότι το κόστος για κάθε τηλεφώνημα διάρκειας x δευτερολέπτων είναι:x 0,005. To γράμμα x που παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό, λέγεται μεταβλητή. Φυσικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άλλα γράμματα (ελληνικά ή λατινικά) για να παραστήσουμε μεταβλητές: y, z, t, α, β, γ,... Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή ομοίων όρων ƒ Δ ƒ π Δ Δ Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, λέγεται, όπως γνωρίζουμε, αριθμητική παράσταση. Για παράδειγμα, η παράσταση ( ) + 5 είναι μια αριθμητική παράσταση. Ομοίως, η παράσταση είναι μία αριθμητική παράσταση ( 7 ) Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση. Για παράδειγμα, η παράσταση x x + 5 είναι μια αλγεβρική παράσταση. Oι προσθετέοι λέγονται όροι αυτής. x Ομοίως, η παράσταση είναι μία αλγεβρική παράσταση. Πώς κάνουμε όμως τις πράξεις σε μια αλγεβρική x + 5 παράσταση; Στο σημείο αυτό μπορεί να μας βοηθήσει λίγο η Γεωμετρία! Ας θυμηθούμε, λοιπόν, τα εμβαδά των ορθογωνίων:

12 Μέρος Α -.. H έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις () () α β γ ƒ Δ ƒ π Δ Δ Στο διπλανό σχήμα δύο ορθογώνια () και () είναι «τοποθετημένα» έτσι ώστε να σχηματίζουν ένα μεγάλο ορθογώνιο. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μεγάλου ορθογωνίου. Λύση Για να βρούμε το εμβαδόν του μεγάλου ορθογωνίου, υπάρχουν δύο τρόποι: ος τρόπος: ος τρόπος: Το μεγάλο ορθογώνιο έχει Το εμβαδόν του () είναι: α γ. βάση α + β και ύψος γ, Το εμβαδόν του () είναι: β γ. άρα το εμβαδόν του είναι: Άρα το εμβαδόν του μεγάλου oρθογωνίου είναι: (α + β) γ α γ + β γ Φυσικά, και οι δύο τρόποι θα πρέπει να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή: (α + β) γ = α γ + β γ, που είναι η γνωστή επιμεριστική ιδιότητα, η οποία μπορεί να γραφεί και στη μορφή: α γ + β γ = (α + β) γ Στη μορφή αυτή, η επιμεριστική ιδιότητα μπορεί να μας βοηθήσει να κάνουμε εύκολα πράξεις στις αλγεβρικές παραστάσεις: Παράδειγμα: 7 α + 8 α = (7 + 8) α = 5 α x + x x = ( + ) x = x 5 t 6 t 8 t = (5 6 8) t = 9 t Η διαδικασία αυτή με την οποία γράψαμε σε απλούστερη μορφή τις παραπάνω αλγεβρικές παραστάσεις, ονομάζεται «αναγωγή ομοίων όρων». Παρατήρηση: Όταν γράφουμε αλγεβρικές παραστάσεις, συνήθως δε βάζουμε το σύμβολο ( ) του πολλαπλασιασμού μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών ή μεταξύ των μεταβλητών. Γράφουμε δηλαδή xy αντί για x y. Eπίσης, γράφουμε (xy ) + ( 5x) αντί για ( x y ) + ( 5 x). To σύμβολο του πολλαπλασιασμού θα χρησιμοποιείται βέβαια, για τον πολλαπλασιασμό αριθμών: 5 ή ( 5). º ƒ ª Να γράψετε με απλούστερο τρόπο τις παραστάσεις: (α) x + 5x, (β) α + α α, (γ) ω + ω + 5ω + 7ω. Λύση: Έχουμε ότι: (α) x + 5x = ( + 5)x = 7x (β) α + α α = ( + )α = 5α (γ) ω + ω + 5ω + 7ω = ( )ω = 6ω.

13 Μέρος Α -.. H έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις º ƒ ª Λύση: Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) y + x y + x, (β) y + ω y + + ω + 5. Έχουμε ότι: (α) y + x y + x = y y + x + x = ( )y + ( + )x = y + x (β) y + ω y + + ω + 5 = y y + ω + ω = ( )y + ( + )ω + ( + 5) = = y + ω + 7. º ƒ ª Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (x + ) (x ) 8, όταν x = 0,5. Λύση: Aπλοποιούμε πρώτα την παράσταση Α: A= (x + ) (x ) 8 = = x + 6 x + 8 = x x = x + Eπομένως, όταν x = 0,5, είναι: Α = ( 0,5) + = 0,9 + =,9. º ƒ ª Να υπολογίσετε την περίμετρο του παρακάτω τετραπλεύρου, όταν x + y = 0. Λύση: H περίμετρος του τετραπλεύρου είναι ίση με: Π= x + (y + ) + (x + ) + (y ) = = x + y + + x + + y = = x + x + y + y + + = x + y + = = (x + y) + Eπειδή x + y = 0, είναι Π = 0 + = 0 + =. x+ y+ y x... ƒøδ π Δ Nα αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α του διπλανού πίνακα με ένα στοιχείο της στήλης Β. Για κάθε αλγεβρική παράσταση της ης στήλης του διπλανού πίνακα, δίνονται τρεις απαντήσεις Α, Β και Γ, από τις οποίες μία μόνο είναι σωστή. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αντιστοιχίσετε κάθε παράσταση της στήλης Α με την ίση της παράσταση που βρίσκεται στη στήλη Β. α) x x+6x= β) y y+y= γ) 5α+α α= δ) α β+β 5α= ΣΤΗΛΗ Α α) x+5x x β) x x+x γ) x+x 6x δ) x+x 7x Α x y α 8α+8β ΣΤΗΛΗ Β i) x ii) 5x iii) x iv) x Β x 0y α α Γ x 5y 9α α ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β α) (x + 5) + (x 6) i) x + β) ( x + 5) (x 6) ii) x + γ) ( x + 5) (x + 6) iii) x δ) (x + 5) (x 6) iv) x

14 Μέρος Α -.. H έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις π Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: α) Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά. β) Το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 9. γ) Την περίμετρο ενός ορθογωνίου, που το μήκος του είναι m μεγαλύτερο από το πλάτος του. Να χρησιμοποιήσετε μια μεταβλητή για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: α) Το συνολικό ποσό που θα πληρώσουμε για να αγοράσουμε 5 κιλά πατάτες, αν γνωρίζουμε την τιμή του ενός κιλού. β) Την τελική τιμή ενός προϊόντος, αν γνωρίζουμε ότι αυτή είναι η αναγραφόμενη τιμή συν 9% ΦΠΑ. 6 7 Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων: α) Α = (α β) + (α + β), όταν α = 0,0 και β = 005. β) Β = (x + y) + (x + y) + y, όταν x + y =. 9 Oι διαιτολόγοι, για να εξετάσουν αν ένα άτομο είναι αδύνατο ή παχύ, χρησιμοποιούν τον αριθμό Β (δείκτης σωματικού βάρους υ ή body mass index, δηλαδή ΒΜΙ), όπου Β το βάρος του ατόμου και υ το ύψος του σε μέτρα. Ανάλογα με το αποτέλεσμα αυτό, το άτομο κατατάσσεται σε κατηγορία σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα: 5 Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 0x x + x β) 7α 8α α γ) y + y + y δ) ω ω ω + ω ε) 6x + + x στ) β β + β β Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x y + x + y β) 6ω ω + α + ω + α γ) x + y x y δ) 8x + ω + ω + x x Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις A, B και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή τους: α) Α = (x + y) (x + y), όταν x =, y =. β) Β = 5(α β) + (β α), όταν α =, β = 5. Κανονικό βάρος ος βαθμός παχυσαρκίας ος βαθμός παχυσαρκίας ος βαθμός παχυσαρκίας ΓΥΝΑΙΚΕΣ 8,5 -,5,6-8,6 8,7-0 πάνω από 0 ΑΝΔΡΕΣ 9,5 -,9 5-9,9 0-0 πάνω από 0 Nα χαρακτηρίσετε: α) Το Γιώργο, με βάρος 87 κιλά και ύψος,75 μέτρα. β) Την Αλέκα, με βάρος 6 κιλά και ύψος, μέτρα. γ) Τον εαυτό σας.

15 .. Eξισώσεις α βαθμού α α=β β Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Μια σχέση ισότητας ή ανισότητας είναι στην ουσία μια ζυγαριά, η οποία είτε ισορροπεί, είτε γέρνει από τη μία πλευρά, είτε γέρνει από την άλλη. α<β α α β β α>β Αν α και β παριστάνουν τα βάρη των αντικειμένων του σχήματος, τότε θα ισχύει μία μόνο από τις σχέσεις: α = β, α < β, α > β Για να χειριστούμε σωστά μια ισότητα, είναι χρήσιμο να έχουμε υπόψη μας μερικoύς βασικούς κανόνες. ƒ Δ ƒ π Δ Δ Ο Γιώργος έχει μια ζυγαριά που ισορροπεί, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Πρόκειται δηλαδή για έναν κύβο που έχει βάρος ίσο με το βάρος δύο κώνων. Προσθέτει στo δίσκο της ζυγαριάς όπου βρίσκεται ο κύβος, μια μπάλα, οπότε η ζυγαριά γέρνει προς αυτή την πλευρά. Πόσες μπάλες πρέπει να τοποθετήσει στο δίσκο της ζυγαριάς όπου βρίσκονται οι δύο κώνοι, για να ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά; ÕÚ : Λύση Για να ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά, πρέπει βέβαια να τοποθετήσει και στην άλλη πλευρά το ίδιο βάρος, δηλαδή μία μπάλα. Δηλαδή: ένας κύβος και μία μπάλα ισορροπούν με κώνους και μία μπάλα. Το συμπέρασμα αυτό μπορούμε να το διατυπώσουμε ως γενικότερο κανόνα για τις ισότητες. Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή: Ó = ÙfiÙÂ +Á = +Á. Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το ίδιο ισχύει και για την αφαίρεση. ÕÚ : Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή: Ó = ÙfiÙÂ Á = Á.

16 6 Μέρος Α -.. Εξισώσεις α βαθμού ƒ Δ ƒ π Δ Δ O Γιώργος ξέρει ότι ένας κύβος ισορροπεί με δύο κώνους. Αν βάλει κύβους στη μία πλευρά, πόσους κώνους πρέπει να βάλει στην άλλη πλευρά, ώστε να ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά;? Λύση Αφού τετραπλασίασε το βάρος στη μία πλευρά, για να ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά, πρέπει να τοποθετήσει τετραπλάσιο βάρος και στην άλλη πλευρά, δηλαδή πρέπει να τοποθετήσει 8 κώνους. Γενικά: Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή: Ó = ÙfiÙÂ Á= Á. Ομοίως: Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή: Ó = ÙfiÙÂ a = ÌÂ Á 0. Á Á 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr Η έννοια της εξίσωσης ƒ Δ ƒ π Δ Δ? Η διπλανή ζυγαριά ισορροπεί! Μπορείτε να βρείτε πόσο ζυγίζει ένας κύβος; Τα βαρίδια ζυγίζουν 00 γραμμάρια το καθένα. Λύση Για να λύσουμε το παραπάνω πρόβλημα, θα πρέπει να προσπαθήσουμε να απομονώσουμε στον ένα δίσκο της ζυγαριάς έναν κύβο, φροντίζοντας όμως η ζυγαριά να ισορροπεί. 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr ο βήμα: Καταρχάς, παρατηρούμε ότι στον ένα δίσκο της ζυγαριάς υπάρχουν δύο βαρίδια των 00 γραμμαρίων το καθένα, και στον άλλο δίσκο υπάρχουν έξι. Επομένως, μπορούμε να αφαιρέσουμε δύο βαρίδια από κάθε δίσκο χωρίς να χαλάσουμε την ισορροπία της ζυγαριάς.

17 Μέρος Α -.. Εξισώσεις α βαθμού 7 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr ο βήμα: Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι μπορούμε με τον ίδιο τρόπο ν αφαιρέσουμε έναν κύβο από κάθε δίσκο χωρίς πάλι να διαταραχθεί η ισορροπία της ζυγαριάς. ο βήμα: Τώρα έχουν μείνει δύο κύβοι στον ένα δίσκο και τέσσερα βαρίδια στον άλλο. Για να βρούμε πόσο βάρος έχει ο ένας κύβος, μπορούμε να σηκώσουμε έναν κύβο από τον ένα δίσκο (δηλαδή το μισό βάρος ενός δίσκου) και δύο βαρίδια από τον άλλο δίσκο (δηλαδή το μισό βάρος του άλλου δίσκου). Διαιρέσαμε, λοιπόν, τα βάρη και των δύο δίσκων δια, οπότε η ζυγαριά συνεχίζει να ισορροπεί. 00 gr 00 gr Άρα, ένας κύβος ζυγίζει 00 γραμμάρια. Aς δούμε τώρα μια «μαθηματική» λύση του παραπάνω προβλήματος: Ας πούμε ότι κάθε κύβος ζυγίζει x κιλά. Τότε, στον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς βρίσκονταν στην αρχή x + 00 γραμμάρια και στο δεξιό δίσκο x γραμμάρια. Αφού η ζυγαριά ισορροπεί, θα είναι: x + 00 = x Η ισότητα αυτή, που περιέχει τον άγνωστο αριθμό x, ονομάζεται εξίσωση. H παράσταση x + 00 λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης, ενώ η παράσταση x λέγεται δεύτερο μέλος αυτής. Για να βρούμε τώρα τον άγνωστο αριθμό x, λύνουμε την εξίσωση. Eξίσωση x + 00 = x x =x x = x + 00 x x = x + 00 x ( )x = 00 άρα x = 00 x = 00 x = 00 Αφαιρούμε το 00 και από τα δύο μέλη της εξίσωσης Κάνουμε τις πράξεις Aφαιρούμε το x και από τα δύο μέλη της εξίσωσης Αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με το και τα δύο μέλη της εξίσωσης Απλοποιούμε τα κλάσματα Περιγραφή λύσης 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr 00 gr Άρα, ο κάθε κύβος ζυγίζει 00 γραμμάρια.

18 8 Μέρος Α -.. Εξισώσεις α βαθμού Επαλήθευση: Πράγματι, στον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς υπάρχουν = = 800 γραμμάρια και στο δεύτερο δίσκο υπάρχουν = 800 γραμμάρια. Δηλαδή, η ζυγαριά ισορροπεί. Στην παραπάνω λύση της εξίσωσης x + 00 = x «απομονώσαμε» το x στο πρώτο μέλος της εξίσωσης, προσθέτοντας ή αφαιρώντας και στα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Η διαδικασία αυτή μπορεί να γίνει πιο γρήγορα με τη βοήθεια του εξής πρακτικού κανόνα: Σε μία εξίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημό τους. Δηλαδή: x+00 = x+600 x x = x = 00 x 00 = Άρα x = 00 MÂÙ Ê ÚÔ Ì ÙÔ +x ÛÙÔ appleúòùô Ì ÏÔ, ÔapplefiÙ Á ÓÂÙ È x. apple ÛË, ÌÂÙ Ê ÚÔ Ì ÙÔ +00 ÛÙÔ Â ÙÂÚÔ Ì ÏÔ, ÔapplefiÙ Á ÓÂÙ È 00. ÓÔ ÌÂ Ó ÁˆÁ ÔÌÔ ˆÓ fiúˆó. È ÈÚÔ Ì Ì ÙÔ Û ÓÙÂÏÂÛÙ ÙÔ ÁÓÒÛÙÔ Î È appleïôappleôèô Ì ٠ÎÏ ÛÌ Ù. º ƒ ª Nα λυθεί η εξίσωση: (x )+( x)=(x+). Λύση: Έχουμε διαδοχικά: x + 6 x = x + 8 x x x = x = 5x 5 = Άρα x = 5 5 K ÓÔ Ì ÙÈ appleú ÍÂÈ (ÂappleÈÌÂÚÈÛÙÈÎ È ÈfiÙËÙ ) XˆÚ Ô Ì ÁÓˆÛÙÔ applefi ÁÓÒÛÙÔ ÓÔ ÌÂ Ó ÁˆÁ ÔÌÔ ˆÓ fiúˆó È ÈÚÔ Ì Ì ÙÔ Û ÓÙÂÏÂÛÙ ÙÔ ÁÓÒÛÙÔ º ƒ ª y + y + Να λυθεί η εξίσωση: + y = +. Λύση: Σε αυτή την εξίσωση έχουμε και παρονομαστές. Μπορούμε, όμως, να πάρουμε μια εξίσωση χωρίς παρονομαστές, αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με ένα κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών και. Συνήθως χρησιμοποιούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, το οποίο εδώ είναι το 6. Η διαδικασία αυτή λέγεται απαλοιφή παρονομαστών.

19 Μέρος Α -.. Εξισώσεις α βαθμού 9 y + y + 6 ( + y) =6 ( + ) y + y y = (y + ) + 6y = (y + ) + y + + 6y = y y + 6y y = 6 + 5y = 5 5y 5 5 = 5 Άρα y = Aapple ÏÔÈÊ apple ÚÔÓÔÌ ÛÙÒÓ: appleôïï appleï ÛÈ Ô ÌÂ Î È Ù Ô Ì ÏË ÙË ÂÍ ÛˆÛË Ì ÙÔ 6 K ÓÔ Ì ÙÈ appleú ÍÂÈ (ÂappleÈÌÂÚÈÛÙÈÎ È ÈfiÙËÙ ) appleïôappleôèô Ì ٠ÎÏ ÛÌ Ù K ÓÔ Ì ÙÈ appleú ÍÂÈ (ÂappleÈÌÂÚÈÛÙÈÎ È ÈfiÙËÙ ) ÃˆÚ Ô Ì ÁÓˆÛÙÔ applefi ÁÓÒÛÙÔ K ÓÔ ÌÂ Ó ÁˆÁ ÔÌÔ ˆÓ fiúˆó È ÈÚÔ Ì Ì ÙÔ Û ÓÙÂÏÂÛÙ ÙÔ ÁÓÒÛÙÔ º ƒ ª Nα λυθεί η εξίσωση: ( x) + (x ) = x + 5. Λύση: Έχουμε διαδοχικά: 6 x + x = x + 5 x + x x = x = Στην περίπτωση αυτή, δε μπορούμε να λύσουμε ως προς x διαιρώντας με το συντελεστή του αγνώστου, γιατί, όπως γνωρίζουμε, δε γίνεται διαίρεση με το 0. Παρατηρούμε, όμως, ότι για κάθε τιμή του x, το πρώτο μέλος της εξίσωσης ισούται πάντα με 0, οπότε δε μπορεί να είναι ίσο με. Επομένως, η εξίσωση αυτή δεν έχει καμία λύση. Μια τέτοια εξίσωση λέγεται αδύνατη. º ƒ ª x + 5 x Να λυθεί η εξίσωση: 5 0 = 0. Λύση: Έχουμε διαδοχικά: x = 0 5 x 0 Aapple ÏÔÈÊ apple ÚÔÓÔÌ ÛÙÒÓ: appleôïï appleï ÛÈ Ô ÌÂ Î È Ù Ô Ì ÏË ÙË ÂÍ ÛˆÛË Ì ÙÔ 0 (x + ) = 5 x 6 x = 5 x x + x = x = 0 appleïôappleôèô Ì ٠ÎÏ ÛÌ Ù K ÓÔ Ì ÙÈ appleú ÍÂÈ (ÂappleÈÌÂÚÈÛÙÈÎ È ÈfiÙËÙ ) ÃˆÚ Ô Ì ÁÓˆÛÙÔ applefi ÁÓÒÛÙÔ K ÓÔ ÌÂ Ó ÁˆÁ ÔÌÔ ˆÓ fiúˆó Στην περίπτωση αυτή επίσης, δε μπορούμε να λύσουμε ως προς x διαιρώντας με το συντελεστή του αγνώστου, γιατί όπως γνωρίζουμε, δε γίνεται διαίρεση με το 0. Παρατηρούμε όμως, ότι η εξίσωση 0x = 0 επαληθεύεται για όλες τις τιμές του x. Για παράδειγμα: 0 = 0, 0 = 0, 0 ( 7) = 0 κ.τ.λ. Δηλαδή, κάθε αριθμός είναι λύση της εξίσωσης. Μια τέτοια εξίσωση λέγεται ταυτότητα.

20 0 Μέρος Α -.. Εξισώσεις α βαθμού. ƒøδ π Δ Στις παρακάτω ισότητες να συμπληρώσετε τον αριθμό που λείπει: α) = 5 β) 5... = 5 γ) 7... = 0 δ)... = 5 ε) +... = 5 στ)... + = 7.. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ α) H εξίσωση x = 6 έχει λύση τον αριθμό. β) H εξίσωση 5x + x = x είναι ταυτότητα. γ) Οι εξισώσεις x + = 5 και x + 5 = έχουν λύση τον ίδιο αριθμό. δ) Η εξίσωση x = 0 είναι ταυτότητα. ε) Η εξίσωση 0 x = 0 είναι αδύνατη. Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της στήλης Α με τη λύση της στη στήλη Β. π Nα εξετάσετε αν ο αριθμός που δίνεται είναι η λύση της εξίσωσης: α) x + = x = 7 β) x + 5 = 7,5 x = 0,5 γ) x + = 7x 6 x = Nα λύσετε τις εξισώσεις: α) x + = + x 5 β) 9 + 7y + y = y γ) t (t + ) = t + (t + ) + Nα λύσετε τις εξισώσεις: α) (x + ) 6(x ) = (x + ) β) (y + ) + (y ) = y (y 6) γ) 6(ω + ) + = (ω ) 6 7 ΣΤΗΛΗ Α α) x = β) x = 9 γ) x = δ) x = + x Να λύσετε τις εξισώσεις: x x t + + t α) x ( 5) = 6 ( ) ΣΤΗΛΗ Β i) 8 ii) iii) iv) β) y y + 7 y = y + 6 γ) ω (ω + ) 7 = ( ω) + 7 t + 5 β) 5 ( + ) = (t ) Να λύσετε τις εξισώσεις: + x t α) = β) = t 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + x 5 = β) 7x 6 5x + = γ) (x ) x = Να λύσετε τις εξισώσεις: x + x x α) = Για ποια τιμή του x είναι Α = Β; α) αν Α = 5x, B = x x β) αν Α = (x ) +, B = 6 + Δίνεται η εξίσωση: μ(x + 6) = (μ )x + α) Aν μ =, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση x = 8. β) Aν η εξίσωση έχει λύση x = 7, να αποδείξετε ότι μ =. γ) Αν μ =, να λύσετε την εξίσωση.

21 Μέρος Α -.. Εξισώσεις α βαθμού 0 Δίνεται το παρακάτω τρίγωνο. α) Να βρείτε την Α τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση τη x+ ΒΓ. Ποιο είναι σ αυτή την περίπτωση το μήκος κάθε πλευράς; Β x+ x+5 β) Να βρείτε την τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. Ποιο είναι σ αυτή την περίπτωση το μήκος κάθε πλευράς; Γ γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΓ. Δίνεται το ορθογώνιο του παρακάτω σχήματος. Να βρείτε τους αριθμούς x, y και ω (το ω παριστάνει μοίρες). x y + 5 y ω 0 π π : Mπορείτε να συμπληρώσετε τα κενά στα παρακάτω αριθμητικά σταυρόλεξα; + 5 = + - = - + = + = = = = = = - + = - + = = = = = = π Δ ƒπ ª πøª È ÂÍÈÛÒÛÂÈ Î È ÔÈ Û Ì ÔÏÈÛÌÔ ÙÔ Ì Û ÛÙÔ ÈÒÓÂ. Ù ÙËÓ Ú ÈfiÙËÙ Ë ÏÏÂÈ Ë Î Ù ÏÏËÏÔ Û Ì ÔÏÈÛÌÔ Â Â ÂÌappleÔ ÛÂÈ ÙÈ Ï ÛÂÈ appleúô ÏËÌ ÙˆÓ Ì appleôù ÏÂÛÌ Ù Ó ıâˆúô ÓÙ È appleôï appleïôîâ Î È ÛÎÔÏÂ. ñ ÙÔÓ appleâú ÊËÌÔ ÈÁ appleùè Îfi apple apple ÚÔ ÙÔ ƒëóù (appleâú appleô 700 apple.ã. - μúâù ÓÈÎfi ªÔ Û Ô) appleâúèáú ÊÔÓÙ È appleúô Ï Ì Ù Ì ÈÂÚÔÁÏ ÊÈÎ ( È ÔÓÙ È applefi ÂÍÈ appleúô Ù ÚÈÛÙÂÚ ). ñ ÙËÓ Ó Á ÓÓËÛË (5Ô - 6Ô ÈÒÓ ) ÔÈ Û Ì ÔÏÈÛÌÔ appleïôappleôè ıëî Ó Î Ù Î appleôèôó ÙÚfiappleÔ: ÏÏÔ Nicolas Chuquet (5-500) ÁÚ ÊÂ: «0 p 5 ÈÛÔ Ù È Ì 0 0», ËÏ x 0 + 5x = 0x 0 appleèô appleï + 5x = 0. Eapple ÛË, Ô ÏÏÔ François Viete (50-60) ÁÚ ÊÂ: «q 5a aeq.». O IÙ Ïfi Niccolo Fontana Tartaglia (99-557) ÁÚ Ê Âapple ÛË : «p 5 R ÈÛÔ Ù È 0». ñ ÏÏÔ René Descartes ( ÚÙ ÛÈÔ ) ÛÙÈ Ú ÙÔ 7Ô ÈÒÓ ÁÚ Ê «+ 5z μ0». ΔËÓ ÂappleÔ Ù Ù Ì ıëì ÙÈÎ Î ıò Î È ÏÏ appleúô Ï Ì Ù È Ù appleòóôóù È Û Â fió appleôîïâèûùèî ÌÂ Ì ıëì ÙÈÎ Û Ì ÔÏ, ÁÂÁÔÓfi appleô Û ÓÂÙ ÏÂÛ ÛÙËÓ ÏÌ ÙÒ Ë appleúfiô Ô ÙË ÂappleÈÛÙ ÌË.

22 .. Eπίλυση τύπων O Anders Celsius, ÁÂÓÓ ıëîâ ÙÔ 70 ÛÙËÓ Ï ÙË Ô Ë. È apple appleappleô  ÙÔ Ù Ó Î È ÔÈ Ô Î ıëáëù : Ô Magnus Celsius, Ì ıëì ÙÈÎfi Î È Ô Anders Spole, ÛÙÚÔÓfiÌÔ. apple Ù Ú ÙÔ ils Celsius Ù Ó Âapple ÛË Î ıëáëù ÙË ÛÙÚÔÓÔÌ. ÏÛÈÔ ıâˆú ıëîâ Ù Ï - ÓÙÔ Ô ÛÙ ª ıëì ÙÈÎ Î È Û ÓÂ Ú ËÏÈÎ (9 ÂÙÒÓ ÙÔ 70) ÈÔÚ ÛÙËΠΠıëáëù AÛÙÚÔÓÔÌ. ÌÌÂÙ  ÙÔ 76 ÛÙË È ÛË- ÌË appleôûùôï ÛÙÚÔÓfiÌˆÓ ÛÙÔ Tornea, ÛÙÔ ÔÚÂÈfiÙÂÚÔ Ì ÚÔ ÙË Ô Ë ( appleôûùôï ÙÔ Lapland ). ÛÙfi Ô ÙË appleô- ÛÙÔÏ Ù Ó Ó ÂappleÈ Â ÈˆıÂ Ë appleâappleô ıâûë ÙÔ Newton, fiùè Ë ÌÔÚÊ ÙË Ë Â Ó È ÂÏÏÂÈ ÔÂÈ- appleô Á ÓÂÙ È Âapple appleâ Ë ÛÙÔ applefiïô, appleú ÁÌ appleô ÂappleÈÙ ıë- Π̠appleôù ÏÂÛÌ Ó Á ÓÂÈ Ô ÏÛÈÔ È ÛËÌÔ. È ÙÈ ÌÂÙˆÚÔÏÔÁÈÎ apple Ú - ÙËÚ ÛÂÈ ÙÔ, Î Ù ÛΠ۠ÙË ÁÓˆÛÙ ÎÏ Ì Î Ì ÙÚËÛË ÙË ıâúìôîú Û, Ì 00 ÁÈ ÙÔ ÛËÌÂ Ô Ù ÍË ÙÔ ÓÂÚÔ Î È 0 ÁÈ ÙÔ ÛËÌÂ Ô Ú ÛÌÔ ÙÔ. ªÂÙ ÙÔ ı Ó Ùfi ÙÔ, appleô appleúô- Ïı applefi Ê Ì Ù ˆÛË ÙÔ 7 (Û ËÏÈÎ ÌfiÏÈ ÂÙÒÓ), Ë ÎÏ - Ì Î ÓÙÈÛÙÚ ÊËΠÛÙË ÛËÌÂ- ÚÈÓ ÙË ÌÔÚÊ. ËÏ 0 ÁÈ ÙÔ ÛËÌÂ Ô Ù ÍË ÙÔ ÓÂÚÔ Î È 00 ÁÈ ÙÔ ÛËÌÂ Ô Ú ÛÌÔ ÙÔ. Σε πολλές επιστήμες χρησιμοποιούμε ισότητες που συνδέουν μεταξύ τους μεγέθη. Για παράδειγμα: Στη Φυσική ο όγκος V με τη μάζα m και την πυκνότητα ρ συνδέονται με τον τύπο m = ρ V. Στη Γεωμετρία ο όγκος V ενός παραλληλεπιπέδου δίνεται από τον τύπο V = α β γ, όπου α, β, γ είναι οι τρεις διαστάσεις του. Στις τραπεζικές συναλλαγές ο τόκος ενός δανείου δίνεται από Κ Ε t τον τύπο Τ =, όπου K το κεφάλαιο, t ο χρόνος 00 διάρκειας του δανείου και E το επιτόκιο της τράπεζας. Όταν έχουμε έναν τύπο στον οποίο γνωρίζουμε τις τιμές που παίρνουν όλες οι μεταβλητές του εκτός από μία, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της άγνωστης μεταβλητής. Αυτό γίνεται, αν επιλύσουμε τον τύπο ως προς την άγνωστη μεταβλητή. ƒ Δ ƒ π Δ Δ Στις Αγγλοσαξονικές χώρες (κυρίως στις ΗΠΑ) για τη μέτρηση της θερμοκρασίας χρησιμοποιούνται οι βαθμοί Φαρενάιτ ( F). Στον υπόλοιπο κόσμο όμως -όπως και στη χώρα μας- χρησιμοποιούνται οι βαθμοί Κελσίου ( C). Η σχέση που συνδέει τους F και τους C, είναι: F =,8C + α) Ένας Αμερικανός που θέλει να ταξιδέψει στην Ελλάδα πληροφορείται ότι, στην Αθήνα έχει θερμοκρασία 0 C. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να μετατρέψει αυτή τη θερμοκρασία σε F; β) Ένας Έλληνας που θέλει να ταξιδέψει στη Νέα Υόρκη πληροφορείται ότι, εκεί έχει θερμοκρασία F. Mπορείτε να τον βοηθήσετε να μετατρέψει αυτή τη θερμοκρασία σε C; Λύση α) Όταν γνωρίζουμε τη θερμοκρασία σε C, είναι εύκολο να βρούμε την αντίστοιχη θερμοκρασία σε F, γιατί ο τύπος F =,8C + λειτουργεί αμέσως (είναι λυμένος, όπως λέμε, ως προς F). Για C = 0 είναι: F =,8 0 + = 6 + = 68 Άρα, στην Αθήνα έχει θερμοκρασία 68 F. β) Όταν θέλουμε να μετατρέψουμε F σε C, τα πράγματα με τον τύπο F =,8C + είναι λίγο πιο δύσκολα: Για F = είναι =,8C + και στη συνέχεια πρέπει να λύσουμε την εξίσωση αυτή ως προς C:

23 Μέρος Α -.. Επίλυση τύπων ƒ Δ ƒ π Δ Δ =,8C 9 =,8C 9,8C =,8,8 5 = C Άρα, στη Nέα Υόρκη έχει θερμοκρασία 5 C. Nα μετατρέψετε σε βαθμούς Κελσίου τις θερμοκρασίες τριών ακόμα Αμερικανικών πόλεων: Βοστώνη: F Βαλτιμόρη: F Λος Άντζελες: 59 F Λύση Θα πρέπει, βέβαια, να λύσουμε τρεις εξισώσεις όπως η παραπάνω! Αντί να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία τρεις φορές, λύνουμε πρώτα τον τύπο F =,8C + ως προς C: F,8C F =,8C ή =,8,8 F Άρα: C =.,8 F Ο τύπος C =,8 είναι ίδιος (ισοδύναμος) με τον τύπο F =,8C +, μόνο που «είναι λυμένος» ως προς C. Διαπιστώσαμε ότι, αν έχουμε Επομένως: 9 μία σχέση που συνδέει δύο ή για F = είναι C = = = 5,8,8 περισσότερες μεταβλητές, μπορούμε (χρησιμοποιώντας τις 0 για F = είναι C = = = 0 τεχνικές που μάθαμε στις εξισώσεις) να λύσουμε τη σχέση,8, για F = 59 είναι C = = = 5 αυτή ως προς μία μεταβλητή.,8,8 º ƒ ª Το εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση β και ύψος υ, γνωρίζουμε ότι δίνεται από τον τύπο Ε = βυ. Να λύσετε τον τύπο αυτόν ως προς β και ως προς υ. Στη συνέχεια να βρείτε: α) Το ύψος ενός τριγώνου που έχει εμβαδόν cm και βάση cm. β) Τη βάση ενός τριγώνου που έχει εμβαδόν 5 cm και ύψος 7 cm. Α υ B Δ β Γ Λύση: Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών: Ε = βυ. Άρα: Ε = βυ.

24 Μέρος Α -.. Επίλυση τύπων Ε Για να λύσουμε ως προς β, διαιρούμε και τα δύο μέλη με το υ, οπότε: β = υ. Ε Για να λύσουμε ως προς υ, διαιρούμε και τα δύο μέλη με το β, οπότε: υ= β. Ε Ε α) Από τον τύπο υ = β για Ε = και β = έχουμε: υ = β = = 6 (cm). Ε Ε 5 70 β) Από τον τύπο β = υ για Ε = 5 και υ = 7 έχουμε: β = υ = = 7 =0 (cm). 7 ƒøδ π Δ. Η σχέση α = βγ, αν λυθεί ως προς α, γίνεται: Α α=βγ Β α=βγ Γ βγ α = Δ x. Η σχέση α = β+γδ, αν λυθεί ως προς β, γίνεται: β=γδ α β=α γδ α β = γδ γδ β = α. Η σχέση α = β + γδ, αν λυθεί ως προς γ, γίνεται: γ. Η σχέση α = β( + ), αν λυθεί ως προς γ, γίνεται: δ γ=α β δ (α β)δ γ = β α γ= δ β γ=(α β)δ α β γ = δ αδ γ = β αβ γ = δ γ=(α β )δ π Να επιλύσετε τους παρακάτω τύπους των Μαθηματικών και της Φυσικής ως προς τη μεταβλητή που ζητείται: 6 Ταχύτητα στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: υ = ως προς t. S t Μήκος κύκλου: L = πρ, ως προς ρ. Περίμετρος ορθογωνίου: P = x + y, ως προς y. Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρου: Ε = πρυ, ως προς ρ Eμβαδόν τραπεζίου: β + Β Ε = ( )υ, ως προς β. α S = λ, ως προς λ. Ρ= Ρ 0 + εh, ως προς h. Q = mcθ, ως προς c. Εξίσωση ευθείας: αx + βy + γ = 0, ως προς y, με β 0 q F = k q C, ως προς q. r 5 Εμβαδόν παραλληλεπιπέδου: Ε = (xy + yω + ωx) ως προς ω. S = υ 0 t + gt, ως προς υ 0.

25 Μέρος Α -.. Επίλυση τύπων 5 Για ένα ιδεώδες αέριο σε κανονική πίεση, ο όγκος του σε θερμοκρασία θ C δίνεται από τον τύπο: V = V 0 ( + θ 7,5 ), όπου V 0 ο όγκος στους 0 C. α) Να λύσετε τον τύπο αυτό ως προς θ. β) Στους 0 C ένα ιδεώδες αέριο έχει όγκο V 0 = 5 cm. Σε ποια θερμοκρασία έχει όγκο 0 cm ; Εμπειρικές μελέτες για τη χιονόπτωση στη Βρετανία κατέληξαν στο εξής συμπέρασμα: ο αριθμός D των ημερών ενός έτους στη διάρκεια των οποίων πέφτει χιόνι, δίνεται κατά προσέγγιση από τον τύπο: D = 0,55 h +, όπου h είναι το υψόμετρο ενός τόπου σε μέτρα. α) Σύμφωνα με αυτό τον τύπο, πόσες ημέρες χιονίζει σε έναν τόπο που είναι παραθαλάσσιος (h = 0); β) Σε ποιο υψόμετρο χιονίζει 6 μήνες το χρόνο (80 ημέρες) και σε ποιο υψόμετρο χιονίζει κάθε ημέρα; π π : Στην παρακάτω πυραμίδα κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται ακριβώς από κάτω του, όπως φαίνεται στο παράδειγμα. 8 5 Μπορείτε να βρείτε τον αριθμό x στις παρακάτω πυραμίδες; x 7

26 .. Eπίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Στην καθημερινή ζωή παρουσιάζονται πολλές φορές προβλήματα με αριθμούς, που η επίλυσή τους είναι πολύ συχνά επίπονη και πολύπλοκη. Στην παράγραφο αυτή, θα μάθουμε να χρησιμοποιούμε μεταβλητές και εξισώσεις, για να απλοποιούμε τη λύση τέτοιων προβλημάτων. Έχουμε μάθει σε προηγούμενες τάξεις να λύνουμε μερικά από τα προβλήματα αυτά με τη βοήθεια της πρακτικής Αριθμητικής. ƒ Δ ƒ π Δ Δ Στον αστερισμό της Δόξας! Στις Iουνίου 987 η εθνική μας ομάδα μπάσκετ κατέκτησε το Πανευρωπαϊκό Πρωτάθλημα νικώντας στο στάδιο Ειρήνης και Φιλίας, στον τελικό, την πανίσχυρη ομάδα της τότε Σοβιετικής Ένωσης με 0-0. Πρωταγωνιστής και σούπερ - σταρ τής βραδιάς ήταν ο Νίκος Γκάλης που πέτυχε 0 πόντους. Ο Γκάλης είχε σε εκείνο τον αγώνα εύστοχες βολές, από τις οποίες οι 8 ήταν βολές του πόντου και οι υπόλοιπες ήταν βολές των ή των πόντων. Πόσα τρίποντα πέτυχε εκείνο το βράδυ ο Γκάλης; ªÂ appleú ÎÙÈÎ ÚÈıÌËÙÈÎ : applefi ÙÈ Â ÛÙÔ Â ÔÏ ÔÈ 8 Ù Ó ÙÔ applefióùô. appleôì Óˆ, ÔÈ applefiïôèappleâ Ù Ó ÙˆÓ ÙˆÓ applefióùˆó. Ó Î È ÔÈ Ù ÔÏ Ù Ó ÙˆÓ applefióùˆó, ÙfiÙÂ Ô Î ÏË ı   appleâù ÂÈ ÂΠÓÔ ÙÔ Ú 8 + = 8+8 = 6 applefióùô ÓÙ ÁÈ 0 appleô apple Ù Â ÛÙËÓ appleú ÁÌ ÙÈÎfiÙËÙ. ÊÔ apple Ù Â 0 6= ÂappleÈappleÏ ÔÓ applefióùô, Ë È ÊÔÚ Ù ÔÊ ÏÂÙ È ÛÙ ÙÚ appleôóù. ËÏ, apple Ù Â ÙÚ appleôóù Î È = 0 appleôóù. Λύση Έχουμε τα εξής δεδομένα για τον Γκάλη: Πέτυχε συνολικά 0 πόντους. Είχε εύστοχες βολές από τις οποίες: 8 του πόντου, άγνωστος αριθμός βολών των πόντων, άγνωστος αριθμός βολών των πόντων. Το πρόβλημα ζητά να προσδιορίσουμε τον αριθμό των βολών των πόντων που πέτυχε ο Γκάλης. Έστω ότι είχε x επιτυχίες των πόντων και x επιτυχίες των πόντων. Αφού πέτυχε συνολικά 0 πόντους, έχουμε την εξίσωση: 8 + ( x) + x = x + x = 0 x + x = x = Άρα, ο Γκάλης εκείνο το βράδυ πέτυχε τρίποντα (και φυσικά = 0 δίποντα). Οι αριθμοί αυτοί επαληθεύουν το πρόβλημα: = 0. Aπό την παραπάνω δραστηριότητα συμπεραίνουμε ότι, η λύση προβλημάτων με τη βοήθεια εξισώσεων περιλαμβάνει τα επόμενα γενικά βήματα:

27 Μέρος Α -.. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων 7 Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα και διακρίνουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα. Χρησιμοποιούμε ένα γράμμα (συνήθως το x) για να εκφράσουμε τον άγνωστο αριθμό που πρέπει να προσδιορίσουμε. Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη του προβλήματος με τη βοήθεια του x. Γράφουμε την εξίσωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της εκφώνησης. Λύνουμε την εξίσωση. Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. º ƒ ª Να βρείτε τον αριθμό που το διπλάσιό του, αν το ελαττώσσουμε κατά 8, δίνει τον αριθμό αυξημένο κατά 9. Λύση: Ονομάζουμε τον άγνωστο αριθμό x. To διπλάσιο είναι x. Aν το ελαττώσσουμε κατά 8, είναι x 8. Ο αριθμός αυξημένος κατά 9 είναι x + 9. Συνδέουμε τα παραπάνω σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος και προκύπτει η εξίσωση: x 8 = x + 9 ή x x = ή x = 7 δηλαδή, ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 7. º ƒ ª Μία βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε 0 λεπτά. Μια άλλη βρύση γεμίζει την ίδια δεξαμενή σε 5 λεπτά. Σε πόσα λεπτά της ώρας γεμίζει η δεξαμενή, αν ανοίξουν και οι δύο βρύσες; Λύση: Έστω, ότι και οι δύο μαζί γεμίζουν την δεξαμενή σε x λεπτά. Αφού η πρώτη γεμίζει σε 0 λεπτά, σε ένα x λεπτό θα γεμίζει το και σε x λεπτά τα της 0 0 δεξαμενής. Oμοίως, η δεύτερη βρύση σε x λεπτά θα x γεμίσει τα της δεξαμενής. Αφού και οι δύο μαζί 5 θα γεμίσουν τη δεξαμενή, έχουμε την εξίσωση: x x + = 0 5 x x = x + x = 0 5x = 0 x = 6 Eπομένως, και οι δύο βρύσες γεμίζουν την δεξαμενή σε 6 λεπτά. ªÂ appleú ÎÙÈÎ ÚÈıÌËÙÈÎ : appleúòùë Ú ÛË ÛÂ Ó ÏÂappleÙfi ÁÂÌ ÂÈ ÙÔ ÙË ÂÍ ÌÂÓ 0 Î È Ë Â ÙÂÚË ÙÔ. 5 appleôì Óˆ, Î È Ô Ô Ì ÁÂÌ Ô Ó Û ÏÂappleÙfi ÙÔ 5 + = + = = ÙË ÂÍ ÌÂÓ. ÊÔ Û ÏÂappleÙfi ÁÂÌ ÂÈ ÙÔ ÙË 6 ÂÍ ÌÂÓ, ı ÚÂÈ ÛÙÔ Ó 6 ÏÂappleÙ ÁÈ Ó ÙË ÁÂÌ ÛÔ Ó ÔÏfiÎÏËÚË.

28 8 Μέρος Α -.. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων º ƒ ª Η ανιψιά μου η Μαρίζα Η ανιψιά μου η Μαρίζα έγραψε 6 και 8 σε δύο διαγωνίσματα Μαθηματικών. α) Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο τρίτο διαγώνισμα για να έχει μέσο όρο 8 και στα τρία διαγωνίσματα; β) Μπορεί να βγάλει μέσο όρο 9; Λύση: Έστω x ο βαθμός που θα πάρει η Μαρίζα στο τρίτο διαγώνισμα. Ο μέσος όρος των τριών διαγωνισμάτων προκύπτει, αν διαιρέσουμε το άθροισμά τους δια, δηλαδή: x. α) Για να βγάλει μέσο όρο 8, πρέπει: x = x = 8 + x = 5 x = 5 x = 0 Άρα, για να βγάλει μέσο όρο 8, πρέπει να γράψει 0 στο τρίτο διαγώνισμα. Ο αριθμός αυτός επαληθεύει το πρόβλημα, γιατί = x β) Για να βγάλει μέσο όρο 9, πρέπει =9 άρα + x = 57 ή x =. Φυσικά, επειδή δεν είναι δυνατόν να γράψει βαθμό λέμε ότι, παρόλο που η εξίσωση λύθηκε, η λύση της απορρίπτεται. Δηλαδή, είναι αδύνατον η Μαρίζα να βγάλει μέσο όρο 9. º ƒ ª Τρία αδέλφια μοιράστηκαν ένα χρηματικό ποσό. Ο μικρότερος έλαβε το του ποσού 5 και ακόμη, ο μεσαίος έλαβε το του ποσού και 8 ακόμη και ο μεγαλύτερος έλαβε το του ποσού και 6 ακόμη. Να βρεθεί το αρχικό χρηματικό ποσό και το μερίδιο του καθενός. Λύση: Έστω x το αρχικό ποσό. Ο μικρότερος έλαβε το του ποσού και ακόμη, δηλαδή x Ο μεσαίος έλαβε το του ποσού και 8 ακόμη, δηλαδή x + 8. Ο μεγαλύτερος έλαβε το του ποσού και 6 ακόμη, δηλαδή x + 6.

29 Μέρος Α -.. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων 9 Το άθροισμα των τριών αυτών ποσών είναι το αρχικό ποσό x που μοιράστηκαν. Έτσι, έχουμε την εξίσωση: ªÂ appleú ÎÙÈÎ ÚÈıÌËÙÈÎ : x + + x x + 6 = x 5 x x x = x 5 x x x = 60x 5 x + 5x + 0x = 60x x + 5x + 0x 60x = 560 x = x = x = 0 Άρα, το αρχικό ποσό ήταν 0. Ο μικρότερος πήρε 0 + = + = 6, 5 ο μεσαίος πήρε = = 8 και ο μεγαλύτερος πήρε = = 6. Οι αριθμοί αυτοί επαληθεύουν το πρόβλημα, αφού = 0. ΔÔ + + ÙÔ 5 Û ÓÔÏÈÎÔ appleôûô Â Ó È Ù = ÙÔ appleôûô ÙÔ. ÕÚ, ÙÔ applefiïôèappleô ÙÔ 60 appleôûô Â Ó È ÙÔ ıúôèûì = 6. ÊÔ Ùa ÙÔ appleôûô 60 Â Ó È 6, ÙÔ ÙÔ appleôûô 60 ÙÔ ı Â Ó È 60 6 : = Î È Ùa 60 ı Â Ó È 60 = 0. appleôì Óˆ, ÙÔ ËÙÔ ÌÂÓÔ appleôûfi Â Ó È 0. ƒøδ π Δ. Το διπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά είναι ίσο με το. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις επιλύει το πρόβλημα αυτό; Α Γ x = x = B Δ x + = x + =. Ο Κώστας έχει 8 και ο Γιάννης. Αγόρασαν από ένα σουβλάκι ο καθένας, οπότε τα χρήματα που έχει τώρα ο Κώστας είναι τριπλάσια από τα χρήματα που έχει ο Γιάννης. Πόσο κοστίζει κάθε σουβλάκι; Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις επιλύει το πρόβλημα αυτό; Α Γ 8 + x = x + x = (8 x) B Δ 8 x = ( x) 8 = + x

30 0 Μέρος Α -.. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων π Nα βρεθούν οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, αν η μία είναι διπλάσια της άλλης. Στα παρακάτω σχήματα το ορθογώνιο και το τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου. 8 Ο Πέτρος και ο Σάκης αμείβονται για την εργασία τους με την ώρα. Ο Πέτρος κερδίζει την ώρα περισσότερα από τον Σάκη. Όταν ο Πέτρος εργάζεται 7 ώρες και ο Σάκης 5 ώρες, ο Σάκης κερδίζει 6 λιγότερα από τον Πέτρο. Να βρεθεί το ωρομίσθιο του καθενός. x x 7 x x x 9 Όλα μου τα στιλό εκτός από είναι μπλε, όλα μου τα στιλό εκτός από είναι κόκκινα, όλα μου τα στιλό εκτός από 5 είναι μαύρα. Πόσα στιλό έχω; Ένας πατέρας είναι ετών και ο γιος του είναι 8 ετών. Μετά από πόσα έτη η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου; Τρεις φίλοι μοιράστηκαν ένα χρηματικό ποσό. Ο πρώτος πήρε το του ποσού, ο δεύτερος πήρε το του ποσού και ο τρίτος πήρε το του ποσού και 00 ακόμη. Να βρείτε το αρχικό χρηματικό ποσό που μοιράστηκαν και το μερίδιο του καθενός. 0 Το τρίαθλο είναι ένα αγώνισμα που περιλαμβάνει έναν αγώνα κολύμβησης, έναν αγώνα ποδηλασίας και έναν αγώνα δρόμου. Η συνολική απόσταση που διανύει ένας αθλητής και στα τρία αγωνίσματα είναι 5,5 km. Ο αγώνας δρόμου Το ρεζερβουάρ ενός αυτοκινήτου περιέχει διπλάσια ποσότητα βενζίνης από το ρεζερβουάρ ενός άλλου αυτοκινήτου. Αν το πρώτο αυτοκίνητο καταναλώσει λίτρα και το δεύτερο 7 λίτρα, θα μείνει ίδια ποσότητα βενζίνης στα δύο αυτοκίνητα. Πόσα λίτρα βενζίνης περιέχει κάθε αυτοκίνητο; Δώδεκα μικρά λεωφορεία των 8 και ατόμων μεταφέρουν συνολικά 6 επιβάτες. Πόσα λεωφορεία είναι των 8 και πόσα των ατόμων; Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι 8 m και m. Για να διπλασιάσουμε το εμβαδόν του, αυξάνουμε τη μεγαλύτερη διάσταση κατά m. Πόσο πρέπει να αυξήσουμε τη μικρότερη διάσταση; γίνεται σε μία απόσταση που είναι κατά 8,5 km μεγαλύτερη από την απόσταση στην οποία γίνεται ο αγώνας κολύμβησης. Ο αγώνας της ποδηλασίας γίνεται σε τετραπλάσια απόσταση απ αυτήν του αγώνα δρόμου. α) Yποθέτοντας ότι το ευθύγραμμο τμήμα x παριστάνει την απόσταση στην οποία γίνεται ο αγώνας δρόμου, να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε το σχήμα με τις πληροφορίες της εκφώνησης. β) Ποια απόσταση διανύει ένας αθλητής σε κάθε αγώνισμα; Aγώνας κολύμβησης Συνολική διαδρομή ; ; ; x Aγώνας ποδηλασίας Aγώνας δρόμου

31 .5. Aνισώσεις α βαθμού α < β Ανισώσεις Όπως γνωρίζουμε, η σχέση που συνδέει τα βάρη μιας ζυγαριάς που δεν ισορροπεί, είναι μία σχέση ανίσωσης. Για παράδειγμα, για τα βάρη α και β του διπλανού σχήματος έχουμε την ανίσωση: α < β ή ισοδύναμα, την ανίσωση β > α. Μερικές φορές, επίσης, χρησιμοποιούμε το σύμβολο ή το σύμβολο. Γράφουμε: α β, όταν είναι α = β ή α < β και διαβάζουμε: «το α είναι μικρότερο ή ίσο του β». Παρατήρηση: Αν ένας αριθμός α είναι μικρότερος από τον αριθμό β, τότε ο α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β στην ευθεία των αριθμών. Η ίδια ανίσωση βέβαια μπορεί να γραφεί και β > α, γιατί ο β βρίσκεται «πιο δεξιά» από τον α. ƒ Δ ƒ π Δ Δ Δίνονται οι αριθμοί α και β του διπλανού σχήματος. Να συμπληρώσετε ένα από τα σύμβολα «<», «>», «=» στη θέση των κενών. α) α... β β) α +... β + γ) α +... β + δ) α 7...β Λύση α) Ο α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β στην ευθεία των αριθμών, οπότε α < β. β) Ο α + βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β +, οπότε α + < β +. γ) Ο α + βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β +, οπότε α + < β + δ) Ο α 7 βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β 7, οπότε α 7 < β 7. Γενικά, για την πρόσθεση και την αφαίρεση, ισχύει: Αν και στα δύο μέλη μιας ανίσωσης προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ανίσωση με την ίδια φορά. Δηλαδή: Αν α < β τότε α + γ < β + γ και α γ < β γ. Αν α > β τότε α + γ > β + γ και α γ > β γ. ƒ Δ ƒ π Δ Δ Δίνονται οι αριθμοί α και β του σχήματος. Να συμπληρώσετε ένα από τα σύμβολα «<», «>», «=» στη θέση των κενών. α) α... β β) α... β γ) 5α... 5β

32 Μέρος Α -.5. Ανισώσεις α βαθμού Λύση α) Ο α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β, οπότε α < β. β) Ο α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β, οπότε α < β. γ) Ο 5α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον 5β, οπότε 5α < 5β. ƒ Δ ƒ π Δ Δ Δίνονται οι αριθμοί α και β του διπλανού σχήματος. Να συμπληρώσετε ένα από τα σύμβολα «<», «>», «=» στη θέση των κενών. α) α... β β) α... β γ) 5α... 5β Λύση α) O α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β, οπότε α < β. β) Ο α βρίσκεται «πιο δεξιά» από τον β, οπότε α > β. γ) Ο 5α βρίσκεται «πιο δεξιά» από τον 5β, οπότε 5α > 5β. Γενικά, ισχύει για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση: Αν και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ανίσωση με την ίδια φορά. Δηλαδή: Αν α<β και γ > 0 τότε α γ < β γ και α β γ < γ. Αν α>β και γ > 0 τότε α γ > β γ και α β γ > γ. Αν και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ανίσωση με την αντίστροφη φορά. Δηλαδή: Αν α<β και γ < 0 τότε α γ > β γ και α β γ > γ. Αν α>β και γ < 0 τότε α γ < β γ και α β γ < γ. 50g 50g 50g 50g 50g 50g 50g 50g 50g 50g Επίλυση ανισώσεων ƒ Δ ƒ π Δ Δ Στο διπλανό σχήμα η ζυγαριά δεν ισορροπεί! Αν ονομάσουμε x το βάρος κάθε πράσινου κύβου (τα μπλε βαρίδια ζυγίζουν 50 γραμμάρια το καθένα): α) Με τη βοήθεια του x να εκφράσετε με μια σχέση ανίσωσης το γεγονός ότι η ζυγαριά δεν ισορροπεί. β) Τι μπορούμε να πούμε για το βάρος x κάθε πράσινου κύβου;

33 Μέρος Α -.5. Ανισώσεις α βαθμού Λύση α) Στον ο δίσκο της ζυγαριάς υπάρχουν πράσινοι κύβοι και δύο βαρίδια των 50 γραμμαρίων, δηλαδή συνολικό βάρος x + 50 = x + 00 γραμμάρια. Στον ο δίσκο υπάρχει πράσινος κύβος και 8 βαρίδια των 50 γραμμαρίων δηλαδή, συνολικό βάρος x = x + 00 γραμμάρια. Ο ος δίσκος είναι πιο βαρύς, οπότε ισχύει: x + 00 > x β) Η ανίσωση αυτή μπορεί να μας δώσει πληροφορίες για το βάρος x, αν τη λύσουμε με παρόμοιο τρόπο με αυτόν που ακολουθούμε στην επίλυση εξισώσεων. ΑΝΙΣΩΣΗ x + 00 > x + 00 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΛΥΣΗΣ x x > Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους x > 00 Κάνουμε τις αναγωγές ομοίων όρων x > 00 Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου x > 50 Απλοποιούμε τα κλάσματα Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι, από την ανίσωση που βρήκαμε (x > 50) δεν μπορούμε να συμπεράνουμε πόσο ακριβώς ζυγίζει κάθε πράσινος κύβος, συμπεραίνουμε όμως ότι το βάρος του είναι οπωσδήποτε μεγαλύτερο από 50 γραμμάρια. Μπορεί να είναι 50, γραμμάρια, μπορεί να είναι 00 γραμμάρια ή μπορεί να είναι.000 κιλά! Δηλαδή, όταν λύνουμε μία ανίσωση, συνήθως δε βρίσκουμε μία μόνο λύση, αλλά άπειρες! Γι αυτό παριστάνουμε αυτές τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Το λευκό κυκλάκι πάνω ακριβώς από το 50 δείχνει ότι ο αριθμός αυτός δεν είναι λύση της ανίσωσης. Μια ανίσωση που περιέχει μία μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής, λέγεται ανίσωση με έναν άγνωστο. Ο τρόπος που ακολουθούμε για να λύσουμε μια ανίσωση, είναι παρόμοιος με τον τρόπο που ακολουθούμε στην επίλυση εξισώσεων. Δηλαδή: Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Κάνουμε αναγωγές ομοίων ορων. Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου. Αν ο συντελεστής είναι θετικός η ανισότητα δεν αλλάζει φορά, ενώ αν είναι αρνητικός πρέπει να αλλάξουμε τη φορά της ανίσωσης. º ƒ ª Να λύσετε την ανίσωση (x ) (x + ) (x + ) +. Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών. Λύση: Η ανίσωση γράφεται διαδοχικά:

34 Μέρος Α -.5. Ανισώσεις α βαθμού x x x x x x x 5 5x ÓÔ Ì ÙÈ appleú ÍÂÈ (ÂappleÈÌÂÚÈÛÙÈÎ È ÈfiÙËÙ ) ÃˆÚ Ô Ì ÁÓˆÛÙÔ applefi ÁÓÒÛÙÔ ÓÔ ÌÂ Ó ÁˆÁ ÔÌÔ ˆÓ fiúˆó È ÈÚÔ Ì Ì ÙÔ Û ÓÙÂÏÂÛÙ ÙÔ ÁÓÒÛÙÔ. ÚÔÛÔ fiìˆ!. È ÈÚ Û Ì Ì ÚÓËÙÈÎfi ÚÈıÌfi ÁÈ Ùfi ÏÏ Í Ì ÊÔÚ ÛÙËÓ Ó ÛˆÛË. x 5 Στη συνέχεια, παριστάνουμε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών: H μπλε τελεία ακριβώς πάνω στο 5 σημαίνει ότι και ο αριθμός αυτός είναι λύση της ανίσωσης º ƒ ª 5 x x + Να λύσετε την ανίσωση + x. 8 Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών. Λύση: Η ανίσωση γράφεται διαδοχικά: 5 x x x (5 x) + x + 8x 0 x + x + 8x x + x 8x 0 9x 9x 9 9 x È ÈÚ Û Ì Ì ÚÓËÙÈÎfi ÚÈıÌfi, ÁÈ Ùfi ÏÏ Í Ì ÊÔÚ ÛÙËÓ Ó ÛˆÛË. Στη συνέχεια, παριστάνουμε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών: - 0 º ƒ ª Να λύσετε την ανίσωση (x ) (x + ) < (x + ) 5(x ). Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών. Λύση: Η ανίσωση γράφεται διαδοχικά: x x 6 < x + 5x + 0 x x x + 5x < x < Παρατηρούμε ότι, η ανίσωση αυτή αληθεύει για κάθε τιμή του αριθμού x. Δηλαδή είναι ταυτότητα. Η παράσταση των λύσεων αυτών στην ευθεία των αριθμών θα είναι όλη η ευθεία

35 Μέρος Α -.5. Ανισώσεις α βαθμού 5 º ƒ ª Λύση: Να λύσετε την ανίσωση x + + (x ) > x +. Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών. Η ανίσωση γράφεται διαδοχικά: x + + x 6 > x + x + x x > + 6 0x > 8 Παρατηρούμε ότι, η ανίσωση αυτή δεν αληθεύει για καμιά τιμή του αριθμού x. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ανίσωση είναι αδύνατη. Στην παράσταση των λύσεων αυτών στην ευθεία των αριθμών δε θα σημειώσουμε τίποτα, γιατί κανένας αριθμός δεν είναι λύση αυτής της ανίσωσης. º ƒ ª 5 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: x 5 x + και < + 5x. Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών. Λύση: Λύνουμε χωριστά τις δύο ανισώσεις: x 5 x + < + 5x x x + 5 < 5x x 8 0 < 5x x 8 0 5x 5 < 5 x < x H παράσταση των λύσεων της πρώτης Η παράσταση των λύσεων της δεύτερης ανίσωσης στην ευθεία των αριθμών: ανίσωσης στην ευθεία των αριθμών: Στη συνέχεια, σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία Όπως βλέπουμε από το σχήμα, οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι οι αριθμοί που βρίσκονται ανάμεσα στο και στο. Άρα, είναι οι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει: < x. Παρατήρηση: Η σχέση < x είναι μια διπλή ανίσωση, γιατί ισχύουν συγχρόνως και η x > και η x. 6 º ƒ ª x + x Nα λύσετε την ανίσωση:. Λύση: x + x Η ανίσωση χωρίζεται σε δύο ανισώσεις, οι οποίες πρέπει να x + x ισχύουν ταυτόχρονα ή όπως λέμε, να συναληθεύουν: και.

36 6 Μέρος Α -.5. Ανισώσεις α βαθμού Λύνουμε χωριστά τις δύο ανισώσεις: x + x x + x x + 6 x x 6 x x 5 x H παράσταση των λύσεων της πρώτης Η παράσταση των λύσεων της δεύτερης ανίσωσης στην ευθεία των αριθμών: ανίσωσης στην ευθεία των αριθμών: Στη συνέχεια, σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία Όπως βλέπουμε από το σχήμα, οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι οι αριθμοί που βρίσκονται από το και αριστερά. Άρα, είναι οι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει: x.. ƒøδ π Δ Nα συμπληρώσετε τα κενά: α) Αν x <, τότε x +... γ) Αν x > 5, τότε x... ε) Αν x, τότε x... β) Αν x <, τότε x... δ) Αν x 6, τότε x... στ) Αν x <, τότε x... ζ) Αν x < 7, τότε x... η) Αν x, τότε x.... Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη): ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ α) Ανα < β τότε α 6 < β 6. β) Ανα < β τότε α < β. γ) Ανα < 0 τότε α < α. δ) Ανα > τότε α >. ε) Ανα < 5 τότε α < 8. στ) Η ανίσωση x 5 > 7 έχει λύση τον αριθμό x =. ζ) Η ανίσωση x > x + 99 αληθεύει για κάθε αριθμό x. η) Η ανίσωση x > x + 50 αληθεύει για κάθε αριθμό x. θ) Η ανίσωση x < x έχει λύσεις τους αριθμούς x <.

37 Μέρος Α -.5. Ανισώσεις α βαθμού 7 π Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους: α) 8x x β) x + > γ) ( x) > x δ) 7x + x Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους: α) (ω ) > ω β) x + (x ) x γ) y (y + ) < (y + ) + δ) (t + 5) < t Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους: α) x x > x β) (x + ) (x + ) > x + x + γ) x + + > 0 δ) x + x + x + 7 ( + ) 6 > ε) ω ω ω ω < t + t 7t στ) t + > Nα βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: α) x < και x < β) (x + ) + x > 6 x και 7x 8 > (x + ) + 7 γ) x > ( x) + 7 και ( x) 6 δ) y 5 > 5 (y + ) και 5 y < y 5 ε) x < 7 και (x ) > 6 και x (x ) στ) x x + > και (x ) + x > (x + 5) και + x < (x ) Nα λύσετε και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις των ανισώσεων: α) 7 < x + 9 β) < x < γ) 5x + 8 Για ποιες τιμές του θετικού ακέραιου αριθμού μ, έχουμε ότι ο Α = (μ ) είναι αρνητικός; Για ποιες τιμές του αριθμού α, η ανίσωση x α + > α(x ) έχει λύση τον αριθμό x = ; H Άννα είχε τριπλάσια χρήματα από τη Μαρία, αλλά δαπάνησε και τώρα έχει λιγότερα από τη Μαρία. Να αποδείξετε ότι η Μαρία έχει λιγότερα από 7. Ο Γιώργος έχει γράψει δύο διαγωνίσματα με βαθμούς και. Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο επόμενο διαγώνισμα για να έχει μέσο όρο πάνω από ; Μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας «Parlanet» προτείνει στους πελάτες της δύο «πακέτα» συνδρομής: ο: πάγιο 7,50 το μήνα και χρέωση 0,5 το λεπτό. ο: πάγιο 5 το μήνα και χρέωση 0,0 το λεπτό. Από πόσο χρόνο ομιλίας και πάνω συμφέρει το ο πακέτο; Ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου έχει μήκος 80 m, περίμετρο μικρότερη από 0 m και εμβαδόν μεγαλύτερο από 000 m. Πόσα μέτρα μπορεί να είναι το πλάτος του;

38 apple Ó ÏË Ë ÂÊ Ï Ô Eξισώσεις Ανισώσεις Επιμεριστική ιδιότητα: (α + β) γ = α γ + β γ α γ + β γ = (α + β) γ Αν προσθέσουμε, αφαιρέσουμε, πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ισότητας με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι ισότητα. Δηλαδή: Αν α = β, τότε: α + γ = β + γ α γ = β γ α γ = β γ και α β γ = γ, με γ 0 Σε μια εξίσωση ή ανίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημό τους. Για να λύσουμε μία εξίσωση, ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου. Για να λύσουμε ένα πρόβλημα με τη βοήθεια εξίσωσης, ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα και διακρίνουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα. Χρησιμοποιούμε ένα γράμμα (συνήθως το x) για να εκφράσουμε τον άγνωστο αριθμό που πρέπει να προσδιορίσουμε. Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη του προβλήματος με τη βοήθεια του x. Γράφουμε την εξίσωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της εκφώνησης. Λύνουμε την εξίσωση. Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε και στα δύο μέλη μιας ανίσωσης τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι ανίσωση με την ίδια φορά. Δηλαδή: Αν α < β τότε α + γ < β + γ και α γ < β γ. Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα δύο μέλη μιας ανίσωσης με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι ανίσωση με την ίδια φορά. Δηλαδή: α β Αν α < β τότε α γ < β γ και γ < γ, όταν γ > 0. Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα δύο μέλη μιας ανίσωσης με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανίσωση με την αντίστροφη φορά. Δηλαδή: α β Αν α < β τότε α γ > β γ και γ > γ, όταν γ < 0. Για να λύσουμε μια ανίσωση, ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με αυτήν της επίλυσης εξισώσεων, αλλά πρέπει να προσέξουμε ιδιαίτερα να αλλάζουμε τη φορά της ανίσωσης, όταν διαιρούμε ή πολλαπλασιάζουμε με αρνητικό αριθμό.